Arithmétique Dans Z 1 Bac Sm
Arithmétique dans Z - Algorithme d'Euclide - 2 Bac SM - 1 Bac SM - [Partie 3] - YouTube
Arithmétique Dans Z 1 Bac Smile
Par conséquent, d'après la division euclidienne, le reste r la division euclidienne de \(4^{n}\) par 7 est: r=1 si n≡0 [3]. r=4 si n≡1 [3]. r=2 si n≡2 [3]. 3) a) 851=7×121+4 et \(0≤4<7\). Le reste de la division euclidienne de 851 par 7 est donc 4. b) Soit n un entier naturel. \(A=851^{3n}+851^{2n}+851^{n}≡4^{3 n}+4^{2n}+4^{n} [7] \). \(A≡1+4^{2 n}+4^{n} [7] \). D'après les questions précédentes: *si n=0, alors A≡1+1+1| [7]≡3 [7]. *si n=1, alors A≡1+4²+4| [7]≡1+2+4 [7] ≡0 [7]. *si n=2, alors A≡1+2²+2 [7]≡7 [7] ≡0 [7]. Or, 0 et 3 sont des entiers naturels de l'intervalle [0;7[. Par conséquent, le reste dans la division euclidienne de A par 7 est 0 où 3: 0 si (n≡0 [3] où n≡2 [3]) 3 si n≡0 [3]. 4) On considère le nombre B s'écrivant en base 4: B=\(\overline{2103211}^{4}\) Alors \(B=1+4+2×4^{2}+3×4^{3}+4^{5}+2×4^{6}\) B=1+4×k avec K=\((1+2×4+3×4^{2}+4^{4}+2×4^{5})\)∈Z B≡1 [7] De plus 0≤1<4. Donc le reste dans la division euclidienne de B par 4 est 1. * Exercice 15 * \((x_{0}; y_{0})\)=(1;1) est une solution particulière de (E) \((x; y)\) solution de (E)⇔3 x-2y=1 ⇔\(3x-2y=3 x_{0}-2 y_{0}\)⇔\(3(x-x_{0})=2(y-y_{0})\) ⇔ 3(x-1)=2(y-1)(x) ① ⇒ \(\left\{\begin{array}{l}3 \mid 2(y-1) \\ 3 ∧ 2=1\end{array}\right.
Arithmétique Dans Z 1 Bac S Website
Analyse d'un algorithme. 2014 Antilles Guyane 2014 Exo 4. Difficulté: assez facile. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l'équation $8x+15y=146$. Théorèmes de Bézout et Gauss. Asie 2014 Exo 4. Montrer par l'absurde qu'il existe une infinité nombres premiers. Tester si un nombre est premier ou pas. Compléter un algorithme. Centres étrangers 2014 Exo 4. Produit de deux matrices carrées de format $2$. Inverse d'une matrice carrée de format $2$. Produit d'une matrice carrée de format $2$ par un vecteur colonne. Codage grâce à des congruences. Décodage en inversant ces congruences. Nouvelle Calédonie 2014 Exo 4 (novembre). Théorèmes de Bézout et de Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l'équation $221x-331y=1$. Suites arithmétiques. Polynésie 2014 Exo 2. Modification d'un algorithme. Résolution dans $\mathbb{Z}$ de l'équation $12x+31y=503$. 2013 Antilles Guyane 2013 Exo 4 (septembre). Division euclidienne. Inverse d'une matrice inversible. Nouvelle Calédonie 2013 Exo 4 (novembre). Difficulté: une question délicate.
La liste des nombres N possibles est: {1001;1008;2002;2009;3003;4004;5005;6006;7000;7007;8001;8008;9002;9009} * Exercice 14 * 1) a) Soient n, a, b, c et d des entiers tels que n≥0, a≡b[n] et c≡ d[n] D'après le pré-requis: a=b[n] si, et seulement si, il existe un entier k tel que a-b=k n. c≡d[n] si, et seulement si, il existe un entier k' tel que c-d=k'n. Alors: ac=(b+kn)(d+k'n)=bd+n(bk'+dk+k k'n). Or, bk'+dk+k k'n∈Z, par conséquent ac≡bd[n] 2) \(4^{0}≡1[7]\);\(4^{1}≡4[7]\);\(4^{2}≡16≡2[7]\);\(4^{3}≡64≡1[7]\); On conjecture donc que: pour tout entier naturel n: *si n=0 [3] alors 4n=1 [7]. *si n=1 |3] alors 4n=4 [7]. *si n=2 [3] alors 4n=2 [7]. Montrons alors cette conjecture: *si n=0 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k. Par conséquent \(4n=4^{3k}=(4^{3})^{k}\)≡1^{k} [7] ≡ 1[7]\) *si n=1 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k+1. Par conséquent \(4n=4^{3k+1}=(4^{3})^{k}×4\)≡1^{k}×4 [7] ≡ 4[7]\) *si n=2 [3] alors il existe un entier naturel k tel que n=3k+2. Par conséquent \(4n=4^{3k+2}=(4^{3})^{k}×4^{2}\)≡1^{k}×16 [7] ≡ 2[7]\) De plus, 1, 4 et 2 sont des entiers des l'intervalle [0;7[.