Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés
Écrit par Luc Giraud le 20 juillet 2019. Publié dans Cours en TS Théorème: (principe du raisonnement par récurrence) Théorème En langage mathématique Si: $n_0 \in \mathbb{N}$:$\mathcal{P}(n_0)$ (initialisation) $\forall p\geq n_0$:$\mathcal{P}(p)\Rightarrow\mathcal{P}(p+1)$ (hérédité) Alors: $\forall n\geq n_0, ~ \mathcal{P}(n)$ En langue française Si: La propriété est vraie à patir d'un certain rang $n_0 $ (initialisation) Pour tout rang $ p$ plus grand que $ n_0$, la propriété au rang $p$ entraîne la propriété au rang $p+1$. (hérédité) Alors: La propriété est vraie pour tout rang $n$ plus grand que $n_0$. Exercices Exemple 1: somme des entiers impairs Exercice 1: On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n\geq1$ par:$$u_n=\sum_{k=1}^n (2k-1)$$ Démontrer que $u_n=n^2$. Raisonnement par récurrence - Logamaths.fr. Exemple 2: somme des carrés Exercice 2: Démontrer que:$$ \sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $$ Exemple 3: somme des cubes Exercice 3: Démontrer que:$$ \sum_{k=1}^n k^3=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés De La
P(n) un énoncé de variable n entier naturel défini pour tout entier n supérieur ou égale à n 0. Si l'on demande de montrer que l'énoncé P(n) est vrai pour tout n supérieur ou égal à n 0, nous pouvons penser à un raisonnement par récurrence et conduire comme suit le raissonnement: i) Vérifier que P(n 0) est vrai ii) Montrer que quelque soit l'entier p ≥ n 0 tel que P(p) soit vrai, P(p+1) soit nécessairement vrai aussi alors nous pouvons conclure que P(n) est vrai pour tout entier n ≥ n 0. 3) Exercices de récurrence a) exercice de récurrence énoncé de l'exercice: soit la suite numérique (u n) n>0 est définie par u 1 = 2 et pour tout n > 0 par la relation u n+1 = 2u n − 3. Démontrer que pour tout entier n > 0, u n = 3 − 2 n−1. Raisonnement par récurrence somme des carrés by hermès. Soit l'énoncé P(n) de variable n suivant: « u n = 3 − 2 n−1 », montrons qu'il est vrai pour tout entier n > 0. Récurrence: i) vérifions que P(1) est vrai, c'est-à-dire a-t-on u 1 = 3 − 2 1−1? par définition u 1 = 2 et 3 − 2 1−1 = 3 - 2 0 = 3 - 1 = 2 donc u 1 = 3 − 2 1−1 et P(1) est bien vrai.
Exercice 7. Démontrez que pour tout entier naturel $n$: « $\dsum_{k=0}^{k=n} k^3 =\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$ ». Exercice 8. Démontrez que pour tout entier naturel $n$: « $\dsum_{k=0}^{k=n} k(k+1) =\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ ». Exercice 9. On considère la suite $(u_n)$ de nombres réels définie par: $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$. 1°a) Écrire une propriété en fonction de $n$ exprimant que la suite $(u_n)$ est « à termes strictement positifs ». 1°b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est « à termes strictement positifs ». 2°a) Écrire une propriété en fonction de $n$ exprimant que la suite $(u_n)$ est majorée par 3. Raisonnement par récurrence somme des carrés le. 2°b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est majorée par 3. 3°a) Écrire une propriété en fonction de $n$ exprimant que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. 3°b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Exercice 10. Soit ${\mathcal C}$ un cercle non réduit à un point. Soient $A_1$, $A_2, \ldots, A_n$, $n$ points distincts du cercle ${\mathcal C}$. 1°) En faisant un raisonnement sur les valeurs successives de $n$, émettre une conjecture donnant le nombre de cordes distinctes qu'on peut construire entre les $n$ points $A_i$, en fonction de $n$.